王蒙
天津工业大学 300387
[摘要]通过分析理想纱线的加捻情况将加捻为两个阶段，即纱线中纤维形变前和形变后，本文主要先分析形变前纱线加一个捻回后其中纤维的状态，给出此时纱线半径内任意纤维的含参数螺旋线表达式，进而给出纱线中任意纤维螺旋线的螺距表达式，进一步证明纱线圆柱体上端形成的短暂曲面是椭球面，并给出其表达式，再分析形变后纱线内部所受力情况，并给出表达式。
纱线结构取决于采用的加捻方式，新型纺纱技术发展的核心就是加捻技术的改变[1]。本文分析的是理想加捻情况，即当平行纤维束集聚并形成圆柱体时，如图所示，设想截取其一片段，并假设片段长度等于加捻后纱线中纤维一螺旋距的长度，如图1所示。经加一个捻回后，设想此圆柱底端面固定，上端面自由，纤维不伸长也不收缩时，由于中心以外的纤维形成空间螺旋线而高度下降，成为图1-a，此时圆柱体上端面将不成平面而形成圆锥面。事实上纤维是连续体，其在连续体中的上端面不允许成为圆锥形，而必须仍成平面，此时必须使外层纤维拉伸伸长，迫使芯层纤维沿轴向压缩缩短，当四周沿轴向拉伸力与芯层沿轴向压缩力平衡时，纱线长度稳定，此段纱线长度比原纤维束长度缩短了一段，这就是捻缩，如图1-b所示。因此一般纱线（无论短纤纱还是长丝纱），加捻后均是外层张紧，压实内层，而中心层皱缩。这些伸长张力产生的单纱轴向皱缩力也是纤维在纱中内外转移的力量来源[2]。由此可知纱线加捻过程可分为纤维未形变和纤维形变两个阶段，而纤维未形变时纱线截面会由平面形成短暂曲面，本文将先分析曲面的表达式，并证明是椭球面，而并非圆锥面。并给出只与纤维所处半径有关的螺旋线参数表达式，且推导出加捻的极限情况。再分析形变后纱线内部所受力情况，并给出表达式。
1、进行分析的基本假设
（1）纱线中纤维是连续体[3]。（2）未形变前纤维是无弹性形变的刚体。（3）纱线截面为圆形且半径为R。（4）纱线中纤维还并未发生内外转移。（5）选取纱线段为圆柱，且底端面固定，上端面自由。（6）纱线加捻时其中纤维形成螺旋线。（7）选取未加捻前纱线线段的长度等于螺旋线旋转一周的线长，并记为h。（8）不同半径r且处在同一极轴的螺旋线使用相同的参数t，即认为不同半径螺旋线皆是同一实数区间到三维空间的单射和满射，而相同半径的螺旋线之间的参数仅相差一个实数。（9）纱线所在空间为三维欧式空间，n=3。（10）纱线圆柱底端中心为直角坐标系原点，且为极坐标系原点。（11）纱线中纤维为理想曲线，细度忽略不计。
2、进行分析的基本公式
（1）含参数的一般螺旋线表达式：
（2）三维欧式空间线元表达式：
（3）外层纤维螺旋线系数b0与纱线捻度Tt之间关系[1]：
b0=1/2Tt
3、理想纱线的加捻分析
3.1形变前纤维的状态表征
首先需确定纱线中任意纤维在加一个捻回后未发生形变前的螺旋线表达式，只需确定一般螺旋线表达式中的系数a和b。
3.2形变后纱线的应力计算
加捻时发生捻缩，捻缩率为S’，纱线柱面上端曲面会变为平面，设此时螺距H会变为H’，H’介于H与h之间，模型中纤维段会由h变为h’，根据弹性力学可知纤维h的应变，纱线中纤维处于不平衡状态，会发生内外转移。
4、结论
以下结论皆是理想纱线加一个捻回后，纱线内纤维形变前纤维状态表征和形变后纱线应力计算。
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参考文献
[1]薛文良.魏孟媛.陈革.程隆棣.纱线结构中纤维形态的数学表征[J].纺织学报,2010,31(5):30-33.
[2]姚穆.纺织材料学[M].北京:中国纺织出版社,2009.
[3]李灏.连续体力学[M].武汉:华中工学院出版社,1982.121.
