苏尼来
（赤峰学院 学报编辑部，内蒙古 赤峰 024000）
摘 要：逆向思维是一种与正向思维相反的思维方式，是一种"由果溯因"的思维模式.在数学教学中，培养学生的逆向思维也是提高学生数学思维能力的一种重要方法.逆向思维方式中蕴涵了许多独特，巧妙的数学思想.运用逆向思维方法，可以使一些难于解决的问题应刃而解，如本文中涉及的六类问题，其解法都比较巧妙，这对于提高学生灵活运用数学知识，分析问题、解决问题的能力有很大的帮助.
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关键词 ：逆向思维；反证法；分析法；命题转换法
中图分类号：O122；G633.6 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2015）08-0003-03
思维是人对客观事物的本质特点和内在规律的反映，是人的理性认识的过程.根据思维过程的指向性，可以将思维分为正向思维和逆向思维.正向思维是指在思考数学问题时，按通常思维的方向进行.而逆向思维是从已知问题的相反问题着手解决原问题，其采用了与正常的思维方式完全相反的一种思维方式，“反其道思之”.所以在数学解题过程中，我们也可以采用与常规思想不同的逆向思维思考问题，顺推解决不了问题就考虑逆推，直接解决不了就考虑间接，正面不好讨论的问题就讨论其相反面.
逆向思维也是创造思维的一个组成部分.在日常数学教学中，逆向思维的培养对于提高学生灵活运用数学知识，分析问题，解决问题的能力有很大的帮助.其在数学解题或研究中时常会遇到，比如利用逆用定义，逆用公式和法则等方式解决问题，证明题中常用的反证法运用的也是这样一种思维方式.本文试图从以下几个方面来阐述逆向思维在解题中的重要性.
1 逆用定义
在数学解题过程中定义的作用不可替代，它是解题的航标.而定义的逆用在解题过程中也时常遇见.只要我们重视定义的逆用，进行逆向思维，有些题目的解决会很容易.
例1 解不等式|x-2|<1.
分析 掌握了绝对值的概念后，我们知道，正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.如|3|=3,|-3|=3.|0|=0.于是我们应想到绝对值等于3的数有几个？而如果两个数的绝对值相等，这两个数可能是什么关系？如果是一个式子的绝对值，在去绝对值符号时可能出现什么样的情况？
解 由题
当x-2>0即x>2时
有|x-2|=x-2
此时原不等式等价于x-2<1
解得x<3
而当x-2<0即x<2时
有|x-2|=2-x
此时原不等式等价于2-x<1
解得x>1
综上可以得出原不等式的解为1<x<2.
所以
例3 设f(x)=9x-3x+1，求f-1(0)
分析 我们通常的思路是先求出f(x)=9x-3x+1的反函数，然后再把0代入求出f-1(0)的值，显然这样做过程有些烦琐.但是如果逆用反函数定义，令f(x)=0那么解出x的值就是为f-1(0)的值.
解 由题 令f(x)=0，即9x-3x+1=0
解得x=1
所以根据反函数定义f-1(0)=1.
2 公式的逆应用
公式的运用在数学解题过程中是非常重要的一部分，恰当的运用公式也是一种数学能力.我们运用公式时大都习惯遵循着由左向右顺序.可是有些问题不能运用公式正面解决，那么逆用公式也是重要的数学方法.
例1 计算20002-19992+19982-19972+……+22 -1.
分析 观察原式的式子特点可考虑逆用平方差公式，这样会使运算过程简化.
3 利用逆向思维求函数值域
在函数这一部分学习中，求函数的定义域和值域是很重要的内容，但有时候通过一些函数的性质定义域很容易求出，可是值域却不容易得出.于是我们可以利用函数和它的反函数的定义域的关系,通过求反函数的定义域而求得反函数的值域.
4 反证法
一个数学命题的证明按其所证的对象是原命题还是其等价命题分为直接证法和间接证法.证明原命题称为直接证法，证明原命题的等价命题称为间接证法.反证法就是一种间接证法，是许多问题在用直接证法很难解决时常常被采用的证法.这是一个很好的思想，很好的体现了哲学中的“矛盾”思想，也就是任何一个矛盾都存在着对立统一的两方面，一方的转化或消失，矛盾便不存在.“反证法”在我们探索数学的性质过程中，应当引起我们高度重视，正面想不出，从事情的反面考虑，也许就很容易得到想要的结果.
反证法证明问题的基本程序：
１ 假定所要证的结论不成立,而设命题的反面成立.
２ 用反设做条件,通过已知的定理,定义进行正确的推理,导出矛盾
３ 因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的错误.既然结论的反面不成立，那么结论成立.
例1 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析 假设两条不是直径的相交弦能互相平分，那么交点到两条弦在圆上的点的距离相等，所以交点为圆心.又因为这两条相交弦不是直径，所以圆还有一个圆心，这样同一个圆有两个圆心，而这不可能，所以假设错误，即圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
例2 已知a>0，b>0，a+b>2,求证：1+b/a，1+a/b中至少有一个小于2.
分析 本题显然用一般的方法去思考会非常复杂，会出现三种需要考虑的结果.因此，我们不妨从反面着手，用反证法来证明.
解 假设1+b/a，1+a/b都不小于2
则
1+b/a≥2，1+a/b≥2.
因为
a>0，b>0
所以
1+b≥2a，1+a≥2b
因此
1+b+1+a≥2(a+b)
即
a+b≤2.
这与a+b>2矛盾，故假设不成立.
即1+b/a，1+a/b中至少有一个小于2.
5 分析法
在解决数学问题过程中，从题设出发，根据已有的定理和公式推出要证的结论，称为综合法.但是在解题过程中，有一些问题的解决用综合法很难得到解决，有些问题如果从条件出发往往会感到无从下手.但是若从命题的结论出发进行推理，最后达到已知条件，问题就很容易得到解决.这就是分析法.
分析法在不等式证明中的作用尤为突出.我们可以从求证的不等式出发，逐步寻找使不等式成立的充分条件，直到所需要的条件被确认成立，就断定求证的不等式成立.
逆向思维在数学中有广泛的应用，这就要求我们在以后的学习中.遇到难题时不要退缩，要大胆创新，加强逆向思维的培养.在数学中，培养可逆思维能力的途径还有很多，还需要我们不断的探索，从而真正从思想高度上理解自己所学的知识.
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